混合局部与非局部 p-Laplace 方程的更高 Sobolev 正则性

我们系统地研究了弱解关于混合局部与非局部 $p$-Laplace 方程的 interior Sobolev 正则性。具体而言，我们证明弱解 $u$ 属于 $W^{2, p}_\mathrm{loc}$ 甚至 $W^{2, 2}_{\rm loc}$ Sobolev 空间在亚二次情况下的情形，而 $|\nabla u|^{\frac{p-2}{2}}\nabla u$ 在超二次情形下属于 $W^{1, 2}_\mathrm{loc}$ 类，两者均与经典 $p$-Laplace 方程的正则性一致。此外，证明了在完整范围 $p\in (1, \infty)$ 中，对任意 $q\in [\max\{p, 2\}, \infty)$ 和 $\beta\in(0, \frac 2q)$，都有改进的更高分数可微性和可积性结果 $u\in W^{1+\beta, q}_\mathrm{loc}$。主要分析工具包括有限差商技巧、合适的能量方法和尾估计。鉴于我们的研究在此类混合问题的上下文中为人所知，结果均为新的。