次耗散 Navier-Stokes 方程弱解的局部正则性

我们考虑三维不可压次耗散 Navier-Stokes 方程，其中耗散由分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta )^s$ 给出，$s\in (\frac34,1)$，并提供一种新的自举格式，使得能够在时空上局部分析弱解。这包括若干齐次的 Kato-Ponce 型交换子估计，我们将其在空间上局部化，并且其似乎可应用于其他具有分数阶耗散的抛物型系统。我们还给出了关于压力的新估计，$\|(-\Delta)^s p \|_{\mathcal{H}^1}\lesssim \| (-\Delta )^{\frac s2} u \|^2_{L^2}$。我们应用主要结果证明任意合适弱解 $u$ 满足 $\nabla^n u \in L^{p,\infty }_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3\times(0,\infty))$，其中 $p=\frac{2(3s-1)}{n+2s-1}$，$n=1,2$。作为我们局部正则性定理的推论，我们改进了 Tang-Yu [Comm. Math. Phys., 334(30), 2015, pp. 1455--1482] 的偏正则性结果，并得到了奇异集 $S$ 的盒维数估计 $d_B(S\cap \{t\geq t_0 \} )\leq \frac13 (15-2s-8s^2)$，对任意 $t_0>0$。