关于分数阶 Navier-Stokes 方程弱解的可能时间奇点与最终正则性

在本文中，我们旨在揭示分数阶耗散 $(-\Delta)^{\alpha}$ 如何影响 3d 广义 Navier-Stokes 方程弱解的正则性。具体而言，将证明当 $5/6\le\alpha< 5/4$ 时，弱解在区间 $(0,\infty)$ 上可能时间奇点的 $(5-4\alpha)/2\alpha$ 维 Hausdorff 测度为零。为此，首先在相同的 $\alpha$ 范围内建立了弱解的最终正则性。值得注意的是，当耗散指数 $\alpha$ 从 $5/6$ 变到 $5/4$ 时，相应的 Hausdorff 维数从 $1$ 变到 $0$。因此，所得的 Hausdorff 维数似乎是最佳的。我们的结果依赖于以下事实：当 $\alpha\geq5/6$ 时，空间 $H^{\alpha}$ 是该系统的临界空间或亚临界空间。