超临界正则性下 Navier-Stokes 方程潜在奇点集的分形维数

本文的主要目标是回答 Robinson 与 Sadowski [21, p. 505, Comm. Math. Phys., 2010]{[RS3]} 就 Navier-Stokes 方程所提出的问题。首先，我们证明对于属于 $L^{q}(0,T;L^{p}(\mathbb{R}^{3}))$（其中 $1\leq\frac{2}{q}+\frac{ 3}{p}\leq\frac32$，$2\leq q<\infty$ 且 $2<p<\infty$）的合适弱解 $u$，其潜在奇点集 $\mathcal{S}$ 的上盒维数在该系统中至多为 $\max\{p,q\}(\frac{2}{q}+\frac{ 3}{p}-1)$。其次，证明了满足 $u\in L^{2}(0,T;\dot{H}^{s+1}(\mathbb{R}^{3}))$（$0\leq s\leq\frac12$）的合适弱解的潜在奇点集的 $1-2 s$ 维 Hausdorff 测度为零，其证明依赖于 Caffarelli-Silvestre 延拓。受 Baker-Wang 近期工作 [1] 的启发，这进一步使我们能够讨论在速度梯度具有某种超临界正则性时合适弱解的潜在奇点集的 Hausdorff 维数。