超耗散 Navier-Stokes 系统中奇点盒计数维数的更精确上界

我们研究三维不可压缩超耗散 Navier-Stokes 系统 \begin{equation*} \partial_t u + (-\Delta)^{\alpha}u+(u\cdot \nabla)u+\nabla p = 0, \qquad \operatorname{div} u = 0, \end{equation*} 在 $\alpha\in(1,5/4)$ 时，合适弱解中潜在奇点集合的盒计数维数的上界。我们的主要观察是，尽管分数阶拉普拉斯算子具有非局部性，但通过正确选择尺度不变的局部量，可以将文献[11]中发展并在[27]中用于改进全拉普拉斯情形上界的经典迭代方案推广到超耗散情形。这是通过匹配所需估计的时空尺度的正确阶数来实现的，这些估计在迭代过程中有效地量化了 $(-\Delta)^{\alpha}$。特别地，我们采用了近期突破性工作[5]中构建的超耗散框架，其中 $\alpha$ 中潜在奇点集合的盒计数维数上界由 \begin{equation*} L(\alpha)= \frac{15-2\alpha-8\alpha^2}{3} \quad \mbox{for}\quad 1<\alpha<\frac{5}{4}. \end{equation*} 给出。在本文中，我们将为 $\alpha=1$ 设计的迭代方案[27]推广到 $1<\alpha<5/4$ 的情形，从而得到新建立的界 \begin{equation*} J(\alpha)= \frac{36(3-\alpha)(3+2\alpha)(5-4\alpha)}{-64\alpha^3+272\alpha^2-300\alpha+369} \quad \mbox{for} \quad 1<\alpha<\frac{5}{4}, \end{equation*} 改进了[5]中得到的上述界 $L(\alpha)$。