三维 Navier-Stokes 系统的非局部高耗散扰动

我们研究三维不可压缩 Navier-Stokes 方程组在 $\mathbb{R}^3$ 上的情形，加入额外的耗散性非局部项\n$$\partial_t u + (u\cdot\nabla)u + \nabla p = \nu \Delta u + Lu, \qquad {\rm div}\, u = 0,$$\n其中 $L$ 为自伴傦里奥乘子，其符号与 $-|\xi|^{2\alpha}$ 相当，$\alpha>1$。我们首先识别区分低阶卷积扰动与真正正则化非局部修正项的尖锐傦里奥符号判据。在得到的高耗散类中，我们证明了精确的 $L^2$ 能量恒等式、每个 $\alpha>1$ 情形下的全局弱可解性，以及在 $H^s(\mathbb{R}^3)$ 中 $s>\frac52$ 情形下的局部强可解性。随后我们指出，Lions 指数 $\alpha=\frac54$ 在该非局部情形下仍为临界能量增长阈值：若 $\alpha\ge \frac54$，则每个 $H^s$ 解为全局解；而对于每个 $\alpha>1$，则存在足够小的 $H^s$ 数据使得全局强可解。最后，对于经典三维 Navier-Stokes 方程的消失高耗散近似，我们证明了近奇异收敛原理：若经典流在第一个奇点时刻 $T_*$ 处在继续范数 $X$ 中发散，则相应的正则化族不能在任何趋近 $T_*$ 的区间内在 $X$ 中保持均匀有界。这确定了固定参数全局理论在 Navier-Stokes 极限中何处退化的精确点。