关于衰减湍流的理论

我们找到了任意维度 $d >2$ 下衰减湍流中威尔逊环的纳维-斯托克斯环路方程的精确解的无限维流形。该解族等价于复空间 $\mathbb C^d$ 中一条分形曲线，其随机步长由 $N$ 个伊辛变量 $\sigma_i=\pm 1$ 参数化，此外还有一个有理数 $\frac{p}{q}$ 和一个整数卷绕数 $r$，满足关系 $\sum \sigma_i = q r$。这种等价性提供了一种对偶理论，将 $\mathbb R_d$ 空间中纳维-斯托克斯流的强湍流相描述为另一空间中的随机几何，类似于规范理论中的 ADS/CFT 对应。从数学角度看，该理论给出了无外力纳维-斯托克斯方程的一个随机解。对理论物理学家而言，这是一个具有整数值参数并满足某些数论约束的量子统计系统。其长程相互作用在系统尺寸 $N \rightarrow \infty$ 或化学势 $\mu \rightarrow 0$ 时导致临界现象。固定 $N$ 的系统在奇数和偶数 $N\rightarrow \infty$ 时具有不同渐近行为，但极限 $\mu \rightarrow 0$ 是良定义的。利用数论方法，能量耗散率作为 $\mu$ 的函数被解析算出。在连续极限 $\mu \rightarrow 0$ 下它按 $\nu/\mu^2$ 增长，从而在 $\mu \propto \sqrt{\nu} \to 0$ 时导致反常耗散。同一方法被用于计算所有局地涡量分布，该分布没有连续极限，但在可将无穷大吸收进参数重定义的重正化意义下是可重正化的。固定流形上的小扰动满足我们以一般形式求解的线性方程。该扰动按 $t^{-\lambda}$ 衰减，在局地极限 $\mu \to 0$ 下具有连续的指数谱 $\lambda$。