高维Navier-Stokes方程的可解性准则

我们定义了耗散项为$-(-\Delta)^{\alpha}$的Navier-Stokes方程在${\Bbb R}^n$（对所有$n\geq 2$）中的Ladyzhenskaya-Lions指数$\alpha_{\rm {\tiny \sc l}} (n)=({2+n})/4$。我们回顾了在给定光滑初值条件下，当$\alpha\geq \alpha_{\rm {\tiny \sc l}} (n)$时强整体可解性的证明。如果对于$n>2$的相应Euler方程允许涡量${1\over 2} \|\nabla u \|^2_{L^2}$无控制增长，那么目前已知不存在全局受控的强制量能够正则化$\alpha<\alpha_{\rm {\tiny \sc l}} (n)$时的Navier-Stokes方程的解。能量仅在$\alpha=\alpha_{\rm {\tiny \sc l}} (n)$时在尺度变换下是临界的。