三维超耗散 Navier-Stokes 方程的非唯一性：高于 Lions 指数

我们研究环面上的三维超耗散 Navier-Stokes 方程，其中黏性指数 $\alpha$ 可大于 Lions 指数 $5/4$。众所周知，由 Lions [55] 可知，对于任意 $L^2$ 散度自由初值，当 $\alpha \geq 5/4$ 时存在唯一的光滑 Leray-Hopf 解。我们证明，即使在此高耗散机制下，依据广义 Ladyženskaja-Prodi-Serrin 条件，在超临界空间 $L^\gamma_tW^{s,p}_x$ 中唯一性仍会失效。非唯一性以强意义证明，并特别给出了两个端点 $(3/p+1-2\alpha, \infty, p)$ 与 $(2\alpha/\gamma+1-2\alpha, \gamma, \infty)$ 处的尖锐性。此外，所构造的解允许在初值时刻附近与唯一 Leray-Hopf 解重合，且更精细地，在奇异时间分形集外具有部分正则性，该分形集的 Hausdorff $\mathcal{H}^{\eta_*}$ 测度为零，其中 $\eta_*>0$ 为任意给定的小正常数。这些结果也给出了超临界 Lebesgue 与 Besov 空间中的尖锐非唯一性。此外，获得了超耗散 Navier-Stokes 方程的强零黏性极限结果。