不可压缩 Navier-Stokes 方程 Leray 解的 Onsager 奇异性定理

我们在无粘极限下研究环面 ${\mathbb T}^d$ 上不可压缩 Navier-Stokes 方程 Leray 解的全局能量耗散，假设解关于 Besov 空间 $B^{\sigma,\infty}_3({\mathbb T}^d),$ $\sigma\in (0,1]$ 的范数在时间上以 $L^3$ 意义有界，且关于粘性一致有界。我们建立了形如 $O(\nu^{(3\sigma-1)/(\sigma+1)})$ 的能量耗散上界，当 $\sigma>1/3$ 时该上界随 $\nu\to0$ 趋于零。其结果是，只要总能量耗散在 $\nu\to 0$ 极限下趋于零的速度足够慢，Leray 解中就需要 Onsager 型的“准奇异性”。我们还给出了两个充分条件，以保证存在极限弱 Euler 解 $u$，该解满足局部能量平衡，并可能由于 Leray 解中的惯性区能量级联而产生反常耗散。对于 $\sigma\in (1/3,1)$，反常耗散消失，弱 Euler 解可能在空间上是“粗糙的”，但保持能量守恒。