Navier-Stokes 方程的边界涡量估计及其在无粘极限中的应用

考虑不可压缩 Euler 方程在周期隧道 $\Omega=\mathbb T^{d-1}\times(0,1)$ 中维度 $d=2,3$ 下的稳态解 $\bar u=Ae_1$。现考虑关联 Navier-Stokes 方程在平坦边界上满足无滑移条件、小粘度 $\nu=A/\mathsf{Re}$ 以及 $L^2$ 中初值的一族解 $u^\nu$。我们关注当粘度 $\nu$ 趋于 0 且初值 $u^\nu_0$ 在 $L^2$ 中收敛于 $Ae_1$ 时,弱无粘极限（取子列）$u^\nu\rightharpoonup u^\infty$。在边界附近能量耗散的条件假设下,Kato 于 1984 年证明在此双重极限下 $u^\nu$ 在 $L^2$ 中依时间一致地强收敛于 $Ae_1$。该无粘极限是否无条件成立至今未知。凸积分方法构造出具有相同初值 $Ae_1$ 的 Euler 方程解 $u _E$,其在时刻 $0<T<T_0$ 满足:$\|u_E(T)-Ae_1\|_{L^2(\Omega)}^2\approx A^3T$。这预示了能量量级为 $A^3 T$ 的层分离的可能性。本文证明,通过双重极限得到的任意渐近 $u^\infty$ 所对应的层分离能量不可能超过 $\|u^\infty(T)-Ae_1\|_{L^2 (\Omega)}^2\lesssim A^3T$。该结果对 Navier-Stokes 方程 Leray-Hopf 解的任意弱极限无条件成立。特别地,它表明即使极限不唯一,剪切流型态在时刻 $1/A$ 之前仍可观测。这提供了一种稳定性概念,尽管凸积分理论预示了极限可能非唯一。结果依赖于一个新的 Navier-Stokes 方程边界涡量估计。这一新估计受先前 Navier-Stokes 高正则性估计工作的启发,提供了可跨越无粘极限缩放的非线性控制。