Navier-Stokes方程与原始方程的局部与完全超黏性

在环面上考虑具有完全超黏性以及仅水平超黏性的三维原始方程与不可压缩Navier-Stokes方程，即扩散项$-\Delta$分别被替换为$-\Delta+ \varepsilon(-\Delta)^{l}$或$-\Delta + \varepsilon(-\Delta_H)^{l}$，其中$\Delta_H = \partial_x^2+\partial_y^2$，$\Delta= \Delta_H + \partial_z^2$，$\varepsilon> 0$，$l>1$。超黏性被应用于许多数值格式中，特别是水平超黏性出现在气象模型中。Lions的一个经典结果表明，对于Navier-Stokes方程，若$-\Delta$被替换为$(-\Delta)^{5/4}$，则对$L^2$中的初值全局弱解唯一性成立。此处，对于原始方程，相应的结果在$(-\Delta)^{8/5}$时被证明。对于水平超黏性情形，$l=2$在两种情况下均足够。本文还证明了当$\varepsilon\to 0$时，超黏性解分别强收敛于Navier-Stokes方程与原始方程的弱解。本文所采用的方法基于通过演化方程方法对$L^2$中初值构造强解以及弱-强唯一性。