静水近似的三个极限

原始方程是通过静水近似从三维Navier-Stokes方程推导出来的。形式上，假设一个$\varepsilon$薄域和各向异性粘度，其中垂直粘度$\nu_z=\mathcal{O}(\varepsilon^\gamma)$且$\gamma=2$，则在$\varepsilon\to 0$时得到具有完全粘性的原始方程。在此，我们考虑另外两个极限方程：对于$\gamma<2$，得到二维Navier-Stokes方程。对于$\gamma>2$，当$\varepsilon\to 0$时得到仅具有水平粘性$-\Delta_H$的原始方程。因此，根据对垂直粘性的假设，静水近似存在三种可能的极限。后一种收敛性最近由Li、Titi和Yuan使用能量估计证明。在此，我们更一般地考虑$\nu_z=\varepsilon^2 \delta$，并展示最大正则性方法和二次不等式如何成为处理$\varepsilon,\delta\to 0$时相同问题的有效方法。我们的方法的灵活性还通过$\delta\to \infty$和$\varepsilon\to 0$时收敛到二维Navier-Stokes方程得到说明。