各向异性水平黏性Navier-Stokes方程的原始方程近似

在本文中，我们严格证明了在各向异性水平黏性 regime 下，作为不可压缩三维Navier-Stokes方程小纵横比极限的静力近似与原始方程的导出。设$\varepsilon >0$为区域垂直与水平尺度的小纵横比，我们研究当不可压缩三维Navier-Stokes方程中的水平与垂直黏性分别为$O(1)$与$O(\varepsilon^\alpha)$阶（其中$\alpha>2$）的情形，此时当$\varepsilon$趋于零时极限系统为仅含水平黏性的原始方程。特别地，我们证明对于“充分准备”的初始数据，缩放后的不可压缩三维Navier-Stokes方程的解在任意有限时间区间内随着$\varepsilon$趋于零强收敛到相应的仅含水平黏性的各向异性原始方程的解，且收敛速率为$O\left(\varepsilon^\frac\beta2\right)$阶，其中$\beta=\min\{\alpha-2,2\}$。注意该结果与[Li, J.; Titi, E.S.: \emph{The primitive equations as the small aspect ratio limit of the Navier-Stokes equations: Rigorous justification of the hydrostatic approximation}, J. Math. Pures Appl., \textbf{124} \rm(2019), 30--58]中研究的$\alpha=2$情形不同，后者的极限系统为具全黏性的原始方程，且收敛在全局时间上成立、速率为$O\left(\varepsilon\right)$阶。