由缩放 Navier-Stokes 方程对原始方程静水近似的严格证明

考虑各向异性 Navier-Stokes 方程以及原始方程。本文证明了在高度为 $\varepsilon$ 的柱形域中，各向异性 Navier-Stokes 方程以初值 $u_0=(v_0,w_0)\in B^{2-2/p}_{q,p}$（当 $q\ge 2$ 时 $1/q+1/p\le 1$，当 $q\le 2$ 时 $4/3q+2/3p\le 1$）的解的水平速度，当 $\varepsilon \to 0$ 时以收敛速率 $\mathcal{O} (\varepsilon )$ 依极大-$L^p$-$L^q$-正则性范数收敛到以初值 $v_0$ 的原始方程解的水平速度。由于相应垂直速度之差在该范数下有界，此收敛结果在该设定下给出了原始方程中静水近似的严格证明。它特别推广了 Li 和 Titi 在 $L^2$-$L^2$ 设定下的结果。此处所呈现的方法不依赖于二阶能量估计，而是依赖于热方程的极大 $L^p$-$L^q$ 估计。