Navier-Stokes 方程弱解的分数阶高阶导数估计

我们研究具有 $L^2$ 初始数据的全空间中三维 Navier-Stokes 方程的弱解。将证明对于满足 $1< \alpha <3$ 的任意实数 $\alpha$，$\nabla^\alpha u$ 在时空中是局部可积的，这表明几乎三阶导数是局部可积的。迄今为止，由标准抛物正则化仅知二阶导数 $\nabla^2 u$ 是局部可积的。我们还给出了这些量在弱-$L_{loc}^{4/(\alpha+1)}$ 中的精确估计。这些估计仅依赖于初始数据的 $L^2$ 范数和积分区域。此外，只要 $u$ 是光滑的，它们甚至对 $\alpha\geq 3$ 也成立。证明使用了 Navier-Stokes 的一个好逼近和爆破技术，这使我们能够专注于局部研究。对于局部研究，我们使用了带有新压力分解的 De Giorgi 方法。为了处理分数阶拉普拉斯算子的非局部性，我们将采用 Hardy 空间和极大函数的一些性质。