具有粗糙初值的（广义）Navier-Stokes 方程的解析性

我们研究了（广义）不可压缩 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题：\begin{align} u_t+(-\Delta)^{\alpha}u+u\cdot \nabla u +\nabla p=0, \ \ {\rm div} u=0, \ \ u(0,x)= u_0. \nonumber \end{align} 我们证明了对于任意初值属于临界 Besov 空间$\dot{B}^{n/p-1}_{p,q}(\mathbb{R}^n)$（其中$1< p<\infty, \ 1\le q\le \infty$）的 Navier-Stokes 方程（$\alpha=1$），其局部解具有解析性；且若$u_0$在$\dot{B}^{n/p-1}_{p,q}(\mathbb{R}^n)$中足够小，则解是全局的。在$p=\infty$的情形下，我们获得了对于任意初值属于调制空间$M^{-1}_{\infty,1}(\mathbb{R}^n)$的 Navier-Stokes 方程（$\alpha=1$）局部解的解析性。我们证明了对于小初值属于临界 Besov 空间$\dot{B}^{n/p}_{p,1}(\mathbb{R}^n) \ (1\leq p\leq\infty)$的分数阶 Navier-Stokes 方程（$\alpha=1/2$）的全局适定性，并展示了当初值较小且属于$\dot{B}^{n/p}_{p,1}(\mathbb{R}^n) \ (1\leq p<\infty)$或$\dot{B}^0_{\infty,1} (\mathbb{R}^n)\cap {M}^0_{\infty,1}(\mathbb{R}^n)$时解的解析性。类似结果对所有$\alpha\in (1/2,1)$也成立。