Navier-Stokes 方程在临界 Besov 空间 $\dot B^{-1}_{\infty,q}$ 中的不适定性

我们研究不可压缩 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题：\n\begin{align} u_t -\Delta u+u\cdot \nabla u +\nabla p=0, \ \ {\rm div} u=0, \ \ u(0,x)= \delta u_0. \label{NS} \end{align}\n对于任意小的 $\delta>0$，我们证明了在临界 Besov 空间 $\dot B^{-1}_{\infty,q}$（$\forall \ q\in [1,2]$）中，解映射 $\delta u_0 \to u$ 在原点处是不连续的。已知 Navier-Stokes 方程对于 $BMO^{-1}$ 中的小数据是全局适定的。注意到嵌入关系 $\dot B^{-1}_{\infty,q} \subset BMO^{-1}$ ($q\le 2$)，我们可以看到对于充分小的 $\delta>0$，$u_0\in \dot B^{-1}_{\infty,q}$ ($q\le 2$) 能保证 Navier-Stokes 方程在 $BMO^{-1}$ 中存在唯一的全局解，然而该解在 $\dot B^{-1}_{\infty,q}$ 中是不稳定的，且对于某些初始数据，解在 $\dot B^{-1}_{\infty,q}$ 中可能发生膨胀。因此，我们的结果表明，同一空间中的两种不同拓扑结构可能分别决定适定性与不适定性。