Navier-Stokes 方程在 $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1}_{p,r}$ 中的连续依赖性

本文主要研究不可压缩 Navier-Stokes 方程在齐次 Besov 空间 $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1}_{p,r}$ 中的 Cauchy 问题，其中 $1\leq p<\infty,\ 1\leq r\leq \infty,\ d\geq 2$。首先，我们证明了解的局部存在性，并给出解的生命周期 $T$ 的下界。该生命周期依赖于初数据的 Littlewood-Paley 分解，即 $\dot{\Delta}_j u_0$。其次，若初数据 $u^n_0\rightarrow u_0$ 于 $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1}_{p,r}$ 中，则相应的生命周期 $T_n\rightarrow T$。第三，我们证明数据到解映射在 $\dot{B}^{\frac{d}{p}-1}_{p,r}$ 中是连续的。因此，Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题在临界 Besov 空间中按 Hadamard 意义是局部适定的。此外，我们还在 $L^{\infty}L^2\cap L^{2}\dot{H}^1$ 中得到了适定性与弱强唯一性结果。