Sobolev-Fourier-Lorentz空间中数据的Navier-Stokes方程适定性

在本注中，对于$s \in \mathbb R$和$1 \leq p, r \leq \infty$，我们引入并研究Sobolev-Fourier-Lorentz空间$\dot{H}^s_{\mathcal{L}^{p, r}}(\mathbb{R}^d)$。在族空间$\dot{H}^s_{\mathcal{L}^{p, r}}(\mathbb{R}^d)$中，Navier-Stokes方程的临界不变空间对应于值$s = \frac{d}{p} - 1$。当初始数据属于临界空间$\dot{H}^{\frac{d}{p} - 1}_{\mathcal{L}^{p,r}}(\mathbb{R}^d)$且$d \geq 2, 1 \leq p <\infty$, $1 \leq r < \infty$时，我们建立Cauchy问题的Navier-Stokes方程在空间中局部温和解的存在性$L^\infty([0, T]; \dot{H}^{\frac{d}{p} - 1}_{\mathcal{L}^{p, r}}(\mathbb{R}^d))$对于任意初始值，以及当初始值在Besov空间$\dot{B}^{\frac{d}{\tilde p} - 1, \infty}_{\mathcal{L} ^{\tilde p,\infty}}(\mathbb{R}^d)$的范数足够小时在空间中全局温和解的存在性$L^\infty([0, \infty); \dot{H}^{\frac{d}{p} - 1}_{\mathcal{L}^{p, r}}(\mathbb{R}^d))$，其中$\tilde p$可取某些合适值。