最大临界空间中三维 Navier-Stokes 方程的能量叠加与正则性

我们证明，属于空间 $L^\infty(0,T; B^{-1}_{\infty,\infty}(\mathbb R^3))$ 的三维 Navier-Stokes Cauchy 问题的 Leray-Hopf 弱解在 $(0,T]$ 中是正则的。由此推得，任何三维 Navier-Stokes 方程的 Leray-Hopf 弱解，只要其在最大临界空间 $\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}(\mathbb R^3)$ 以及任意临界空间中随时间有界，便是正则的。为证明，我们提出一种新初等方法，即以适当方式叠加高频部分的能量范数以生成高阶范数。从而，从弱解高频部分的能量估计出发，可获得其高阶范数的估计。通过线性能量叠加，我们得到端点 Besov 空间 $B^{\sigma}_{\infty,\infty}$（$\sigma\in [-1,0)$）中 Leray-Hopf 弱解已知正则性准则的极简短证，即 Prodi-Serrin 条件的推广。本文主要结果通过反复应用非线性能量叠加与线性能量叠加技术得以证明。文中发展的能量叠加方法亦可应用于其他超临界非线性 PDE。