广义 Leray 方程弱解的整体正则性及其应用

我们研究如下广义 Leray 方程弱解的正则性 \begin{equation*} (-\Delta)^{\alpha}V- \frac{2\alpha-1}{2\alpha}V+V\cdot\nabla V-\frac{1}{2\alpha}x\cdot \nabla V+\nabla P=0, \end{equation*} 该方程源于 $\mathbb R^3$ 中广义 Navier-Stokes 方程自相似解的研究。首先，通过利用粘性消失并发展分数阶扩散算子的非局部效应，我们证明了加权 Hilbert 空间 $H^\alpha_{\omega}(\mathbb R^3)$ 中弱解 $V$ 的一致估计。借助 Besov 空间的差分刻画与 bootstrap 论证，我们将弱解的正则性从 $H^\alpha_{\omega}(\mathbb R^3)$ 提升至 $H_{\omega}^{1+\alpha}(\mathbb R^3)$。该正则性结果连同非局部 Stokes 系统的线性理论，导出 $V$ 的点态估计，使我们获得 \cite{LXZ} 中构造的自相似解的自然点态性质。特别地，我们利用 Oseen 张量的特殊结构，得到经典 Navier-Stokes 方程自相似解的最优衰减估计。这回答了 Tsai \cite[Comm. Math. Phys., 328 (2014), 29-44]{T} 提出的问题。