具有临界Besov空间初值的Navier-Stokes系统的存在性与弱*稳定性

2016年，Seregin和Šverák提出了三维Navier-Stokes方程的一类全局时间解概念（并证明了其存在性），其具有$L_3$螺线管型初值，称为“全局$L_3$解”。全局$L_3$解的一个关键特征是关于螺线管型$L_3$初值序列弱收敛的连续性。本文的第一个目标是证明对于更宽的临界空间$\dot{B}^{-\frac{1}{4}}_{4,\infty}$中的螺线管型初值，存在类似的“全局$\dot{B}^{-\frac{1}{4}}_{4,\infty}$解”概念，并且关于螺线管型$\dot{B}^{-\frac{1}{4}}_{4,\infty}$初值序列的弱*收敛满足某些连续性性质。如果要求Navier-Stokes方程的解减去初值的热延拓属于全局能量类，则这是最宽的此类临界空间。对于更宽类$\dot{B}^{-1+\frac{3}{p}}_{p,\infty}$初值（$p>4$）的情况，我们证明对于任意$0<T<\infty$，在$\mathbb{R}^3 \times ]0,T[$上存在具有该初值的Navier-Stokes系统解。我们讨论了这些解的性质如何导出三维弱Leray-Hopf解在范数$\|v(\cdot,t)\|_{\dot{B}^{-1+\frac{3}{p}}_{p,\infty}}$（以及某些附加假设）意义下的新正则性准则。使这些结果成为可能的本文主要新观察涉及齐次Besov空间$\dot{B}^{-1+\frac 3 p}_{p,\infty}$的分解。这似乎不能从已知的实插值理论明显得出。