关于粗糙克拉森Navier-Stokes方程解及其奇点集的应用

1934年，Leray 证明了对于任意在 $L^2$ 空间中的无散度初始数据，Navier-Stokes 方程存在全局时间弱解。在20世纪80年代，Giga 和 Kato 独立指出，存在对应于足够小的临界 $L^3(\mathbb{R}^3)$ 初始化数据的全局时间温解。在1990年，Calderón 通过利用分割方法，融合了Leray 和 Giga-Kato 构造，填补了在 $L^p$ 空间中 $2< p<3$ 超临界初始化数据上全局时间弱解的间隙。本文利用“类克拉森分割”方法，证明了对应于超临界 Besov 空间初始化数据 $u_0 \in \dot{B}^{s}_{q,\infty}$ 的全局时间弱解存在，其中 $q>2$ 且 $-1+\frac{2}{q}<s<\min \left(-1+\frac{3}{q},0 \right)$，从而在 Besov 空间情境下填补了Leray 和已知温解理论之间的类似间隙。我们还利用类克拉森分割来研究在 Besov 空间情境下假设Type-I blow-up的情况下的奇点集结构，这比以往工作要粗糙得多。