$\mathbb{R}^2$ 中 Navier-Stokes 方程稳态弱解的存在性与唯一性
偏微分方程分析
2019-01-21 v1 数学物理
math.MP
摘要
本文证明了在整个平面 上稳态 Navier-Stokes 方程弱解的存在性。这一特定几何情形是自 1933 年 Leray 的工作以来唯一悬而未决的情况。其原因在于，由于没有边界，在二维空间中解的行为无法通过涡度拟能来控制。我们通过构造在某些给定有界集上具有指定平均速度的近似弱解来克服这一困难。作为推论，我们得到了 中由该平均速度参数化的无穷多个弱解，这让人联想到速度场在大距离处收敛到任意指定常向量场的预期行为。这种弱解的显式参数化使我们能够证明小数据的弱-强唯一性定理。然而，当唯一性定理不适用时，弱解的渐近行为问题仍然悬而未决。
引用
@article{arxiv.1703.06465,
title = {Existence and uniqueness of steady weak solutions to the Navier-Stokes equations in $\mathbb{R}^2$},
author = {Julien Guillod and Peter Wittwer},
journal= {arXiv preprint arXiv:1703.06465},
year = {2019}
}
备注
16 pages