平面中 Navier-Stokes 方程的定常解

本研究致力于二维无界域中的不可压缩定常 Navier-Stokes 方程。首先，回顾并梳理了关于弱解构造及其渐近行为的主要结果，以便以简洁统一的方式处理所有情形。大多数开放问题与无穷远处速度场消失的情形相关，这将作为本研究剩余部分的主要主题。Navier-Stokes 方程在零解附近的线性化导出 Stokes 方程，其在二维中是不适定的。这就是著名的 Stokes 悖论：若净力非零，Stokes 方程的解在无穷远处将增长。通过研究 Stokes 与 Navier-Stokes 方程之间的联系，证明了即使净力消失，Navier-Stokes 方程的速度与压力场也不能渐近于 Stokes 方程的那些场。然而，在某些情况下速度场可渐近于同时也求解 Navier-Stokes 方程的 Stokes 方程的两个精确解。最后，基于物理论证，建立了具有非零净力的二维 Navier-Stokes 方程解在无穷远处的正式渐近展开。该展开中速度场的首项以 $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$ 衰减并表现出尾流行为。进行了数值模拟以在净力非零时验证该渐近展开，并分析净力消失情形下的渐近行为。这表明 Navier-Stokes 方程容许速度场在无穷远处趋于零的解，这与 Stokes 线性化相反，并且进一步表明可能的渐近集合非常丰富。