关于具有内部奇点的 Navier-Stokes 不等式的弱解

我们构造了 $\mathbb{R}^3$ 中 Navier-Stokes 不等式 $$u\cdot \left(\partial_t u -\nu \Delta u + (u\cdot \nabla) u +\nabla p \right) \leq 0$$ 的弱解，这些解在单点 $(x_0,T_0)$ 或集合 $S \times \{T_0 \}$ 上爆破，其中 $S\subset \mathbb{R}^3$ 是一个 Cantor 集，其 Hausdorff 维数对于任意预先给定的 $\xi\in (0,1)$ 至少为 $\xi$。此类解由 Scheffer (Comm. Math. Phys., 1985 & 1987) 构造过。此处我们为这些构造提供了一个更简单的视角。我们改进了该方法来构造时间区间 $[0,1]$ 上 Navier-Stokes 不等式的光滑解，满足“近似等式” $$\left\| u\cdot \left(\partial_t u-\nu \Delta u + (u\cdot \nabla) u +\nabla p \right) \right\|_{L^\infty}\leq \vartheta,$$ 以及“范数膨胀” $\| u(1) \|_{L^\infty} \geq \mathcal{N} \| u(0) \|_{L^\infty}$，对于任意预先给定的 $\mathcal{N}>0$、$\vartheta >0$。此外，我们推广该方法来构造 Euler 不等式 $$u\cdot \left(\partial_t u+ (u\cdot \nabla) u +\nabla p \right) \leq 0,$$ 的弱解，其满足 $\nu =0$ 时的近似等式，并如上在 Cantor 集 $S\times \{T_0 \}$ 上爆破。