关于临界空间中Navier-Stokes方程的正则性

本文关注临界空间中Navier-Stokes方程的正则性。设$u(x,t)$和$p(x,t)$表示$Q_T=\mathbb{R}^3\times(-T, 0)$中Navier-Stokes方程的合适弱解。我们证明，如果$u(x,t)$位于尺度不变空间$L_t^{\infty}L_{x_3}^{p_1}L_{x_h}^{p_2}(Q_T)$中，其中$\frac{1}{p_1}+\frac{2}{p_2}=1$，$p_1\geq 2$且$x_h = (x_1, x_2)$，那么$u$在$Q_T$中是光滑解，并且在$t = 0$处不会爆破。特别地，如果$u(x,t) \in L_t^{\infty}L_{x_3}^{\infty}L_{x_h}^{2}(Q_T)$，那么$u(x,t)$在$Q_T$中是光滑解，并且正则性可延续到$t = 0$。