纳维-斯托克斯方程的能量守恒与正则性

本文考虑端点情形下纳维-斯托克斯方程弱解 $u$ 的能量守恒与正则性。我们首先构造一个散度自由场 $u(t,x)$，满足 $\lim_{t\to T}\sqrt{T-t}||u(t)||_{BMO}<\infty$ 且 $\lim_{t\to T}\sqrt{T-t}||u(t)||_{L^\infty}=\infty$，以证明 II 型奇点在端点情形 $u\in L^{2,\infty}(BMO)$ 下是容许的。其次，我们证明若合适的弱解 $u(t,x)$ 对任意 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^3$ 满足 $||u||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\Omega))}<\infty$，则局部能量等式在 $[0,T]\times\Omega$ 上成立。作为推论，我们还证明 $||u||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\mathbb{R}^3))}<\infty$ 蕴含 $[0,T]$ 上的全局能量等式。第三，我们表明当解 $u$ 逼近有限爆破时间 $T$ 时，范数 $||u(t)||_{BMO}$ 必须以快于 $\frac{c}{\sqrt{T-t}}$ 的速率爆破，其中 $c>0$ 为某绝对常数。此外，我们证明若 $||u_3||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\mathbb{R}^3))}=M<\infty$，则存在依赖于 $M$ 的小常数 $c_M$，使得若 $||u_h||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\mathbb{R}^3))}\leq c_M$，则 $u$ 在 $(0,T]\times\mathbb{R}^3$ 上正则。