具真空的可压缩 Euler 与 Navier-Stokes 方程的能量守恒

我们考虑 $\mathbb{T}^d\times [0,T]$ 上的可压缩等熵 Euler 方程，其压力律为 $p\in C^{1,\gamma-1}$，其中 $1\le \gamma <2$。这包括所有物理相关情形，例如单原子气体。我们研究其弱解在何种正则性条件下守恒能量。先前结果关键性地假设 $p\in C^2$（在密度范围内），然而对于现实压力律，这意味着必须排除真空情形。此处我们改进这些结果，给出即便解可能出现真空时能量守恒的若干充分条件：第一，假设速度为散度测度场；第二，对 $1/\rho$ 在真空附近施加额外可积性；第三，假设 $\rho$ 在真空附近为准近次调和；第四，假设 $u$ 与 $\rho$ 为 Hölder 连续。随后我们将这些结果推广至域 $\Omega\times [0,T]$ 上的全局能量守恒，其中 $\Omega$ 为有界且具 $C^2$ 边界。我们表明可将这些结果推广至可压缩 Navier-Stokes 方程，即便具有退化粘性。