允许真空的等熵可压缩 Navier-Stokes 方程中的能量等式

众所周知，对于不可压缩 Navier-Stokes 系统，Lions [19] 指出 $L^4 (0,T; L^4(\Omega))$ 中的 Leray-Hopf 弱解具有能量持续性。本文表明，在密度及其导数满足适当可积性条件的情况下，Lions 关于能量平衡的条件对于允许真空的等熵可压缩 Navier-Stokes 方程的弱解同样成立。这使得我们能够建立蕴含可压缩流以及非齐次不可压缩 Navier-Stokes 方程能量等式的各种充分条件。这是对 Yu 在 [32, Arch. Ration. Mech. Anal., 225 (2017)] 中所获相应结果的改进，且我们通过速度梯度给出的判据部分回答了 Liang 在 [18, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A (2020)] 中提出的问题。