Lipschitz 域上 Navier-Stokes 方程的能量守恒

本文考虑具有 Lipschitz 边界 $\partial\Omega$ 的有界域 $\Omega$ 上 Navier-Stokes 方程的 Leray-Hopf 弱解 $u$ 的能量守恒。我们证明，尽管存在边界效应，Shinbrot 条件 $u\in L^q_{loc}((0,T];L^p(\Omega))$（其中 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{2},p\geq 4$）仍能保证 $u$ 的能量守恒成立，且在处理具有 Lipschitz 边界的区域时不需要任何边界层假设。与已有方法相比，我们的关键策略是首先通过考虑非标准局部能量等式将弱解的磨光与边界效应分离，并将边界效应转化为截断函数梯度的估计；然后通过对压力 $P$ 建立精确的 $L^2L^2$ 估计并利用零边界条件，通过选取合适的截断函数得到全局能量等式。我们的结果提供了一种统一的方法来处理有无边界的区域，并改进了 \cite{C-L,Yu} 中的相应结果。