具有物理边界的无电阻 MHD 方程的能量守恒

本文研究具有物理边界的无电阻 MHD 方程弱解的能量等式。尽管磁场 $b$ 的方程属于双曲型，且考虑了边界效应，我们仍证明了全局能量等式成立，条件是对于任意满足 $\frac{1}{q}+\frac{1}{p} \leq \frac{1}{2}$ 且 $p \geq 4$ 的 $p, q$，有 $u \in L^{q}_{loc}\left(0, T ; L^{p}(\Omega)\right)$，以及对于任意满足 $\frac{1}{r}+\frac{1}{s} \leq \frac{1}{2}$ 且 $s \geq 4$ 的 $r, s$，有 $b \in L^{r}_{loc}\left(0, T ; L^{s}(\Omega)\right)$。特别是，与已有结果相比，我们不需要任何边界层假设和对压力 $P$ 的附加条件。我们的结果仅要求边界 $\partial\Omega$ 的正则性为 Lipschitz，这是使边界条件 $b\cdot n$ 有意义的最低要求。证明基于非定常 Stokes 系统弱解的重要性质，以及通过考虑非标准局部能量等式将弱解的磨光与边界效应分离，并将边界效应转化为截断函数梯度的估计。