关于三维不可压缩黏弹性流的能量等式

本文研究不可压缩黏弹性流解的能量守恒问题。首先,我们考虑有界 Lipschitz 区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d\,\,(d\geq 2)$ 中的 Leray-Hopf 弱解。我们证明在 Shinbrot 型条件 $u \in L^{q}_{loc}\left(0, T ; L^{p}(\Omega)\right) \text { 对任意 } \frac{1}{q}+\frac{1}{p} \leq \frac{1}{2}, \text { 且 } p \geq 4,\text{ 以及 } {\bf F} \in L^{r}_{loc}\left(0, T ; L^{s}(\Omega)\right) \text { 对任意 } \frac{1}{r}+\frac{1}{s} \leq \frac{1}{2}, \text { 且 } s \geq 4$ 下,边界条件 $u|_{\partial\Omega}=0,\,\,{\bf F}\cdot n|_{\partial\Omega}=0$ 可抑制边界效应并保证能量等式成立。接着,我们将此思想应用于处理 $\Omega= \mathbb{R}^d\,\,(d=2, 3, 4)$ 的情形,并证明对 $u\in L_{loc}^{q}\left(0,T;L_{loc}^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)\right)$(其中 $\frac{2}{q}+\frac{2}{p}\leq1, p\geq 4$)以及 ${\bf F}\in L_{loc}^{r}\left(0,T;L_{loc}^{s}\left(\mathbb{R}^{d}\right)\right)\cap L^{\frac{4d+8}{d+4}}\left(0,T;L^{\frac{4d+8}{d+4}}\left(\mathbb{R}^{d}\right)\right)$(其中 $\frac{2}{r}+\frac{2}{s}\leq1, s\geq 4$)能量守恒。该结果表明解在有限区域中的行为与在无穷远处的行为在能量守恒中扮演不同角色。最后,我们考虑分布解的能量守恒问题,并证明属于所谓 Lions 类 $L^4L^4$ 的分布解满足能量等式。