基于涡量的不可压缩欧拉方程弱解的能量守恒

受 Cheskidov、Lopes Filho、Nussenzveig Lopes 与 Shvydkoy 在 [8, Commun. Math. Phys. 348: 129-143, 2016] 以及 Chen 与 Yu 在 [5, J. Math. Pures Appl. 131: 1-16, 2019] 工作的启发，本文探讨涡量的 $L^p$ 控制如何影响不可压缩齐次与非齐次欧拉方程弱解的能量守恒。对于周期域或全空间中的齐次流，我们给出了判据 $\omega=\text{curl}u\in L^{3}(0,T;L^{\frac{3n}{n+2}}(\Omega))\,(n=2,3)$ 的自包含证明，该判据推广了 [8] 中的相应结果，并可视为处于 Onsager 临界时空空间。关于非齐次流，我们证明只要涡量位于前述同一空间且 $\nabla\sqrt{\rho}$ 属于 $L^{\infty}(0,T;L^{n}(\mathbb{T}^{n}))\,(n=2,3)$，能量即守恒，这肯定了 Chen 与 Yu 在 [5] 中提出的一个问题。