一个平均化三维 Navier-Stokes 方程的有限时间爆破

欧几里得空间 $\mathbf{R}^3$ 上的 Navier-Stokes 方程可以表示为 $\partial_t u = \Delta u + B(u,u)$ 的形式，其中 $B$ 是作用于散度为零的向量场 $u$ 上的某个双线性算子，满足抵消性质 $\langle B(u,u), u\rangle=0$（这等价于 Navier-Stokes 方程的能量恒等式）。在本文中，我们考虑该方程的一个修改形式 $\partial_t u = \Delta u + \tilde B(u,u)$，其中 $\tilde B$ 是双线性算子 $B$ 的一个平均化版本（该平均涉及旋转和零阶 Fourier 乘子），它同样满足抵消条件 $\langle \tilde B(u,u), u \rangle = 0$（从而满足通常的能量恒等式）。通过分析一个与 Katz 和 Pavlovic 的二进 Navier-Stokes 模型相关（但更复杂）的 ODE 系统，我们构造了这样一个平均化 Navier-Stokes 方程的光滑解在有限时间爆破的例子。这表明，任何试图正面解决三维 Navier-Stokes 整体正则性问题的尝试，都必须在方程的非线性部分 $B(u,u)$ 上使用比调和分析估计和能量恒等式所提供的更精细的结构。我们还提出了一个将这些爆破结果推广到真实 Navier-Stokes 方程的研究计划。