映射到正则系统的三维欧拉方程与理想磁流体动力学：有限时间爆破假说的探究

我们通过显式构造证明，定义在周期立方体中的不可压缩三维欧拉方程的解可以双射地映射到一个新的方程组，该新方程组的解是全局正则的。我们确立了三维欧拉系统解有限时间奇点（或爆破）的通常Beale-Kato-Majda准则等价于新系统对应正则解上的一个条件。在欧拉方程有限时间奇点的假设情况下，我们给出了用新系统正则解表示的爆破时间的显式公式。新系统可采用与欧拉方程类似的方法进行数值积分。我们提出了一种数值模拟新正则系统的方法，并描述了如何利用该方法，基于与能量和环量直接相关的守恒量，对欧拉方程的有限时间奇点问题得出稳健可靠的结论。这种映射到正则系统的方法可以推广到任何允许Beale-Kato-Majda类型定理的流体方程，例如三维Navier-Stokes方程、二维和三维磁流体动力学方程以及一维无粘Burgers方程。我们简要讨论了二维理想磁流体动力学的情况。为了说明该映射的实用性，我们以一维无粘Burgers方程为例，对解析解与数值解进行了全面比较。