三维不可压缩欧拉方程的潜在奇异解

三维不可压缩欧拉方程是否能在有限时间内从光滑初始数据发展出奇点，是数学流体动力学中最具挑战性的问题之一。本文试图从数值角度为这个长期存在的开放问题提供肯定答案，通过呈现一类在轴对称几何中计算出的欧拉方程的潜在奇异解。这些解满足沿轴向的周期性边界条件和固体壁面上的无流动边界条件。方程在空间上使用混合六阶伽辽金和六阶有限差分方法进行离散，在专门设计的自适应（移动）网格上，该网格动态调整以适应演化解。在奇点附近最大有效分辨率超过$(3 \times 10^{12})^{2}$的情况下，我们能够将解推进到$\tau_{2} = 0.003505$，并预测奇点时间$t_{s} \approx 0.0035056$，同时在涡量矢量$\omega$上实现了$O(10^{-4})$的逐点相对误差，并观察到最大涡量$\|\omega\|_{\infty}$增加了$(3 \times 10^{8})$倍。数值数据对照所有主要爆破（非爆破）判据进行了检查，包括Beale-Kato-Majda、Constantin-Fefferman-Majda和Deng-Hou-Yu，以确认奇点的有效性。奇点附近的局部分析也表明在子午面上存在自相似爆破。