关于三维 Euler 与二维 Boussinesq 方程 $C^{1,\alpha}$ 奇异解的稳定性与不稳定性的研究

三维不可压缩 Euler 方程的奇点形成已知极具挑战性。在 [18] 中，Elgindi 证明了具有无旋且 $C^{1,\alpha}$ 初速度的三维轴对称 Euler 方程会在有限时间内发展出奇点。受 Elgindi 工作启发，我们证明了具有 $C^{1,\alpha}$ 初速度和边界的三维轴对称 Euler 与二维 Boussinesq 方程会发展出稳定的渐近（或近似）自相似有限时间奇点 [8]。另一方面，[35,52] 的作者最近表明三维 Euler 方程的爆破解在流体动力学上是不稳定的。[35,52] 中获得的不稳定性结果需要对初数据的一些强正则性假设，而 $C^{1,\alpha}$ 速度场不满足该假设。在本文中，我们将 [8,18,35,52] 的分析推广，表明在 [35,52] 引入的稳定性概念下，具有 $C^{1,\alpha}$ 速度的三维 Euler 和二维 Boussinesq 方程的爆破解是不稳定的。这两个看似矛盾的结果反映了研究三维 Euler 爆破解稳定性的两种方法的差异。[8,18] 中获得的爆破解的稳定性分析基于空间和时间内动态重标度的爆破剖面之稳定性，其在本质上是非线性的。[35,52] 中的线性稳定性分析是通过在原始变量中直接围绕爆破解线性化三维 Euler 方程来进行的。它没有考虑当存在近似自相似爆破剖面时，使用扰动初条件所引起的爆破时间的变化、扰动爆破剖面的重标度率的动态变化以及原始三维 Euler 方程的爆破指数的变化。此类信息在 [8,18,19] 中建立爆破剖面的非线性稳定性时已被本质性地使用。