Navier-Stokes 方程解的动力学行为

我们研究三维及更高空间维度中不可压缩 Navier-Stokes 方程 (NS) 的 Cauchy 问题：\begin{align} u_t -\Delta u+u\cdot \nabla u +\nabla p=0, \ \ {\rm div} u=0, \ \ u(0,x)= u_0(x). \label{NSa} \end{align} Leray 和 Giga 分别得出，对于在有限时间 $T>0$ 发生爆破的 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 中的弱解和 mild 解 $u$，当 $d <p \leq \infty$ 时，有 $$\|u(t)\|_p \gtrsim ( T-t )^{-(1-d/p)/2}, \ \ 0< t<T.$$ 我们将获得 $L^p(\mathbb{R}^d)$ ($d\leq p\leq \infty$) 中爆破 mild 解的爆破剖面和集中现象。另一方面，如果 Fourier 支集具有形式 ${\rm supp} \ \widehat{u_0} \subset \{\xi\in \mathbb{R}^n: \xi_1\geq L \}$ 且对于某个 $L >0$ 有 $\|u_0\|_{\infty} \ll L$，则 \eqref{NSa} 存在唯一的全局解 $u\in C(\mathbb{R}_+, L^\infty)$。最后，如果在三维情形下爆破率为 I 型：$$\|u(t)\|_p \sim ( T-t )^{-(1-d/p)/2}, \ for \ 0< t<T<\infty, \ d<p<\infty$$ 则我们可以获得一个最小爆破解 $\Phi$，使得 $$\inf \{\limsup_{t \to T}(T-t)^{(1-3/p)/2}\|u(t)\|_{L^p_x}: \ u\in C([0,T); L^p) \mbox{\ solves \eqref{NSa}}\}$$ 在某个 $\Phi \in L^\infty (0,T; \ \dot B^{-1+6/p}_{p/2,\infty})$ 处可达。