关于 Navier-Stokes 方程解的局部光滑性

我们考虑不可压 Navier-Stokes 方程 $u_t+u\nabla_xu-\Delta u+\nabla p=0, div u=0 in R^d \times R^+$ 以初值 $a\in L^d(R^d)$ 的 Cauchy 问题，并较详细地研究该方程的光滑效应。我们证明对于 $T<\infty$ 以及任意正整数 $n$ 和 $m$，只要 $\|u\|_{L^{d+2}_{x,t}(R^d\times (0,T))}$ 保持有限，就有 $t^{m+n/2}D^m_tD^{n}_x u\in L^{d+2}(R^d\times (0,T))$。