临界Lebesgue空间中Navier-Stokes方程的内部与边界正则性

我们研究$d$维不可压缩Navier-Stokes方程的正则性判据。我们证明，若$u\in L_{\infty}^tL_d^x((0,T)\times \mathbb{R}^d_+)$是在边界上消失的Leray-Hopf弱解，且压力$p$满足局部条件$\|p\|_{L_{2-1/d}(Q(z_0,1)\cap (0,T)\times \mathbb{R}^d_+)}\leq K$（对某个常数$K>0$关于$z_0$一致），则$u$在$(0,T)\times \mathbb{R}^d_+$中直至边界是正则的。此外，当$T=\infty$时，$u$随$t\rightarrow \infty$趋于零。我们还研究了半单位柱体$Q^+$中的局部问题，并证明若$u\in L^t_{\infty}L^x_d(Q^+)$且$p\in L_{2-1/d}(Q^+)$，则$u$在集合$Q^+(1/4)$的闭包中是Hölder连续的。这将Escauriaza、Seregin和Šverák的一个结果推广到了更高维及带边界的区域。