三维不可压缩 Navier-Stokes 方程在弱 $L^3$ 空间中的正则性判据

我们研究三维不可压缩演化 Navier-Stokes 方程分布解 $(u,p)$ 的正则性。设 $B_r$ 表示 $\mathbb{R}^3$ 中半径为 $r$ 的同心球。我们将证明，若 $p\in L^{m} (0,1; L^1(B_2))$（其中 $m>2$），且 $u$ 在 $L^{\infty} (0,1; L^{3,\infty}(B_2))$ 中充分小（无需对其梯度作任何假设），则 $u$ 在 $B_1\times (\frac{1}{10},1)$ 上有界。这是通常 Serrin 型正则性判据的一个端点情形，并将 Kim-Kozono 的稳态结果推广至时间依赖情形。在附录中，我们还展示了一些非端点的临界正则性判据。