6维稳态 Navier-Stokes 方程的内部与边界正则性准则

本文证明了，若 $\int_{B_1}|u(x)|^3dx+\int_{B_1}|f(x)|^qdx$ 或 $\int_{B_1}|\nabla u(x)|^2dx$+$\int_{B_1}|\nabla u(x)|^2dx\left(\int_{B_1}|u(x)|dx\right)^2+\int_{B_1}|f(x)|^qdx$（其中 $q>3$）足够小，则 6 维稳态不可压缩 Navier-Stokes 方程的合适弱解在 $0$ 处是 Hölder 连续的，这意味着奇点集的 2 维 Hausdorff 测度为零。对于边界情形，我们得到：若 $\int_{B_1^+} |u(x)|^3 dx + \int_{B_1^+} |f(x)|^3 dx$ 或 $\int_{B_1^+} |\nabla u(x)|^2 dx + \int_{B_1^+} |f(x)|^3 dx$ 足够小，则 $0$ 是正则点。这些结果改进了 Dong-Strain（\cite{DS}，Indiana Univ. Math. J.，2012）、Dong-Gu（\cite{DG2}，J. Funct. Anal.，2014）和 Liu-Wang（\cite{LW}，J. Differential Equations，2018）的先前正则性定理，其中要么需要压力的 smallness，要么需要所有球上的 smallness。