$\mathbb{R}^3$ 中 Navier-Stokes 方程的择一定理

我们考虑不可压缩 Navier-Stokes 方程的柯西问题，其初值 $u_0\in L^1(\mathbb{R}^3)\cap L^{\infty}(\mathbb{R}^3)$。存在最大时间区间 $[0,T_{max})$ 与唯一解 $u\in C\big([0,T_{max}); L^2(\mathbb{R}^3) \cap L^p(\mathbb{R}^3)\big)$（$\forall p>3$）。我们找到一个由尺度不变范数对定义的函数类 $S_{regular}$，使得当 $u_0\in S_{regular}$ 时 $T_{max}=\infty$。特别地，对任意 $u_0\in S_{regular}$ 与 $p>3$，$\|u_0\|_{L^p}$ 可任意大。另一方面，证明了择一定理：要么 $T_{max}= \infty$，要么 $T_{max}\in(T_l,T_r]$。特别地，$T_r<T_{max}<\infty$ 的情形消失。此处给出了 $T_l$ 与 $T_r$ 的显式表达式。该择一定理是一类可由计算机验证的正则性判据。若 $T_{max}=\infty$，则解 $u$ 对任意 $(t,x)\in(0,\infty) \times \mathbb{R}^3$ 为正则。当 $t\rightarrow\infty$ 时，解衰减。另一方面，若 $T_{max}\in (T_l,T_r]$，则再次得到 $u$ 的爆破速率下界。