论不可压缩 Euler 与 Navier-Stokes 方程的近似解

我们在环面 T^d 上的无散度、零均值向量场的 Sobolev 空间 H^n(T^d)（其中 n > d/2+1）的函数框架下，考虑不可压缩 Euler 或 Navier-Stokes (NS) 方程。我们提出了 Euler/NS Cauchy 问题近似解的一般理论；这允许通过事后分析任意近似解 u_a，来推断精确解 u 存在时间的下界 T_c，并且构造一个函数 R_n，使得对所有 t 属于 [0,T_c)，有 || u(t) - u_a(t) ||_n <= R_n(t)。T_c 和 R_n 均通过求解依赖于 u_a 误差的适当“控制不等式”来确定；该方案的完全定量化实现依赖于我们之前对 Euler/NS 二次非线性的估计 [15][16]。为了与该主题的现有文献保持联系，我们将我们的结果与 [3] 中提出的近似 Euler/NS 解的框架进行了比较。作为当前框架的首个应用，我们考虑了 Euler/NS Cauchy 问题的 Galerkin 近似解，并采用了 [2] 中考虑的特定初始数据：在这种情况下，我们的方法除其他外，允许在粘性大于显式给定的界限时证明 NS Cauchy 问题的全局存在性。