关于 Navier-Stokes 方程的雷诺数展开
摘要
在我们之前的一篇论文 [Nonlinear Anal. 2012] 中，我们考虑了 d 维环面 T^d 上的不可压缩 Navier-Stokes (NS) 方程，其函数设定为散度为零且均值为零的向量场的 Sobolev 空间 H^n(T^d) (n > d/2+1)。在该 cited 工作中，我们提出了一个用于 NS Cauchy 问题近似解的后验分析的通用框架；给定任意近似解 u_a，该框架允许推断精确解 u 的存在时间下界 T_c，并构造一个函数 R_n，使得对于 t in [0,T_c)，有 || u(t) - u_a(t) ||_n <= R_n(t)。在某些情况下，T_c = + infinity，从而保证了 u 的全局存在性。在本文中，我们应用 [Nonlinear Anal., 2012] 的框架，采用展开式 u^N(t) = Sum_{j=0}^N R^j u_j(t) 作为近似解，其中 R 为雷诺数。除其他结果外，这使得我们能够推导出当 R 低于某个临界值 R_{*}（在我们分析的示例中随 N 增加）时 u 的全局存在性。在一般性地讨论了雷诺展开及其后验分析之后，我们考虑了 d=3 维下 N=1,2,5 阶的展开，初始数据取自 Behr, Necas 和 Wu [M2AN, 2001]。N=5 阶的计算定量地改进了 [Nonlinear Anal. 2012] 中针对该初始数据 previously 获得的结果，后者使用的是 Galerkin 近似解而非雷诺展开。
引用
@article{arxiv.1304.2972,
title = {On the Reynolds number expansion for the Navier-Stokes equations},
author = {Carlo Morosi and Livio Pizzocchero},
journal= {arXiv preprint arXiv:1304.2972},
year = {2013}
}
备注
Author's note. To appear in Nonlinear Analysis TMA. In the preliminaries and in the final paragraph there is some overlap with previous works of ours (arXiv:1203.6865, arXiv:0709.1670, arXiv:0909.3707, arXiv:1009.2051, arXiv:1104.3832, arXiv:1007.4412); these overlaps aim to make the paper self-contained, and do not involve the main results about the Reynolds expansion