Navier-Stokes 方程的高阶 Reynolds 展开

我们考虑 $d$ 维环面上不可压缩均匀 Navier-Stokes (NS) 方程的 Cauchy 问题，采用如 [25] 中所述的 $C^\infty$ 表述。[22][25] 展示了如何通过对近似解进行“后验”分析来获得 NS Cauchy 问题精确解的定量估计；这些估计涉及精确解的存在区间及其与近似解的距离。在本文中，我们考虑形式为 $u^N(t) = \sum_{j=0}^N R^j u_j(t)$ 的 NS Cauchy 问题近似解，其中 $R$ 是“数学”Reynolds 数（运动粘度的倒数），系数 $u_j(t)$ 的确定使得 NS 方程满足至 $O(R^{N+1})$ 的误差。该主题已在 [24] 中讨论过，其中作为应用，针对 Behr-Necas-Wu (BNW) 初始数据考虑了 $d=3$ 维下 $N=5$ 阶的 Reynolds 展开。在本文中，我们在理论分析和应用方面丰富了这些结果。在理论方面，我们遵循 [25] 改进了 [24] 的方法，并在构建展开式时利用了初始数据的对称性。在应用方面，我们考虑了另外两个 ($d=3$) 初始数据，即 Taylor-Green (TG) 和 Kida-Murakami (KM) 涡旋；利用 Python 程序对 BNW、TG 和 KM 数据进行了 Reynolds 展开，达到了 $N=12$ 到 $N=20$ 的阶数。我们的后验分析证明，除其他外，若 $R$ 低于一个明确计算的临界值，则具有上述三种数据中任意一种的 NS 方程解是全局存在的。我们的临界 Reynolds 数低于表征湍流状态的数值；然而，这些界限具有坚实的理论支持，是完全定量的，并改进了先前关于全局存在性的结果。