轴对称 Navier-Stokes 方程 Cauchy 问题

我们考察轴对称 Navier-Stokes 方程的 Cauchy 问题。为了证明全局正则解的存在性，我们分别考察轴对称轴附近和远离轴的情况。我们仅导出全局 a priori 估计。要证明轴附近的估计，需要能量估计、vorticity 的 $L_\infty$ 估计、改进流函数（沿半径方向）的 $H^2$ 和 $H^3$ 估计，以及由 Liu-Wang 提供的速度和改进流函数的展开。与轴对称轴远离的估计则容易得到。因此，若解足够规则以满足 Liu-Wang 展开，则我们得到全局 a priori 估计（$\Omega=\mathbb{R}^3$） $$\|\omega_{r/r} \|_{V(\Omega^t)} + \|\omega_{\varphi/r}\|_{V(\Omega^t)}\le\phi({\rm data}),\ \ t<\infty, \qquad(*)$$ 其中 $\omega_r$ 为径向湍流分量，$\omega_\varphi$ 为角向湍流分量，$V(\Omega^t)$ 为能量范数。估计 $(*)$ 可视为在足够规则解上得到的 a priori 估计。提高解的正则性后，我们导出估计 \eqalign{ &\|v\|_{W_3^{3,3/2}(\Omega^t)}+\|\nabla p\|_{W_3^{1,1/2}(\Omega^t)}\cr &\le\phi(\phi({\rm data}),\|f\|_{W_3^{1,1/2}(\Omega^t)},\|v(0)\|_{W_3^{3-2/3}(\Omega)}),\cr} \qquad(**) 其中 $\phi$ 为递增正函数。该估计在局部解上得到证明。估计 $(**)$ 加上局部解的存在性，即说明 Navier-Stokes 方程轴对称 Cauchy 问题存在全局正则解。