关于圆柱中 Navier-Stokes 方程的整体正则轴对称解

我们考虑有限圆柱 $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ 中的轴对称 Navier-Stokes 方程。我们假设 $v_r$、$v_\varphi$、$\omega_\varphi$ 在圆柱边界 $\partial\Omega$ 的侧面为零，并假设 $v_z$、$\omega_\varphi$、$\partial_zv_\varphi$ 在边界 $\partial\Omega$ 的顶部和底部为零，其中我们使用了标准柱坐标，并用 $\omega= {\rm curl}\, v$ 表示涡量场。我们的目标是推导估计式 $$\left\|\frac{\omega_{r}}{r}\right\|_{V\left(\Omega\times (0,t)\right)}+\left\|\frac{\omega_{\varphi}}{r}\right\|_{V\left(\Omega\times (0,t)\right)} \leq \phi(\operatorname{data}),$$ 其中 $\phi$ 是一个递增的正函数，$\|\ \|_{V\left(\Omega\times (0,t)\right)}$ 是能量范数。我们无法针对无滑移边界条件推导出任何整体型估计。